摘  要： 簡要介紹了小波分析基本理論中的小波變換和小波包變換，重點論述了小波分析在圖像降噪處理中的應用及其算法流程。在此基礎上，利用Matlab R2007進行了圖像去噪仿真測試，并對仿真結果進行了分析。結果表明，利用小波分析理論進行圖像降噪處理，能夠取得較好的降噪效果。
關鍵詞： 小波分析；小波包分析；多分辨率分析；圖像降噪；Matlab

　由于各種隨機因素的影響，圖像在傳輸過程中經常會產生噪聲，會對進一步的邊緣檢測、圖像分割、特征提取和模式識別等處理帶來諸多不便，因此，采用適當的方法減少噪聲是一項非常重要的圖像預處理步驟。經典的降噪算法有均值濾波、中值濾波、高斯濾波和維納濾波等[1]，但這些算法使圖像變換后的熵增高，細節部分丟失，不能揭示圖像信息的非平穩特性，也無法得到圖像信息的相關性。
小波分析理論作為一種強有力的數學分析工具，近年來廣受關注，其在圖像處理中的研究應用也逐漸深入。小波變換特有的低熵性、去相關性使得小波在圖像降噪處理方面比經典的降噪算法更具優勢。本文對小波分析理論在圖像降噪方面進行了深入研究，并利用Matlab R2007進行圖像降噪仿真，通過仿真數據驗證小波分析理論在圖像降噪處理方面的效果。
1 小波分析基本理論
　小波變換的基本思想是用一組函數序列表示或逼近待分析信號，與傳統的傅里葉分析相比，小波變換在時域和頻域都具有表征信號局部特征的能力，通過平移和伸縮能夠聚焦信號的任意細節并進行時頻域處理，既可以看到信號的全貌，又可以分析信號的細節，并保留數據的瞬時特性，因此有“數學顯微鏡”之稱。
1.1 小波變換
　小波變換的核心思想是多分辨率分析方法。在小波分解過程中，將待分析信號通過小波分解成兩部分，得到低頻系數向量和高頻系數向量，兩個連續的低頻系數之間損失的信息可以由高頻系數獲得，然后將低頻系數向量繼續分解，而高頻系數保持不動。
對于圖像處理而言，采用多尺度二維小波分解方法，即二維多分辨率分析方法。每一次的分解結果包含低頻、高頻水平分量、高頻垂直分量、高頻對角分量四部分，下一層變換分解是在低頻部分進行的，分解后的結構示意圖如圖1(a)所示。其中，A是低頻系數，用于下一層的分解，H是高頻水平方向系數，V是高頻垂直方向系數，D是高頻對角線方向系數。

1.2 小波包變換
　給定正交小波函數，可以生成一組小波包基，每個基都提供了一種特定的信號編碼方法，它能保留信號的全部能量，并對信號的特征進行準確的重構，這些小波包可以用于對給定信號進行多種分析和解釋。
正交小波分解過程是將低頻系數分為新的低頻系數向量和高頻系數向量兩部分，然后將新的低頻系數向量繼續分解，而高頻系數保持不動。而對于小波包分解來說，每個高頻系數向量也使用和低頻系數分解同樣的方法，分成兩個部分，這樣就提供了更為豐富的信號分析方法：在一維分析中產生了完整二叉樹，而在二維分析中產生了四叉樹[2]，圖1(b)所示是二維小波包四叉樹示意圖。
小波包分析方法是多分辨率小波分析的推廣[2]，與小波分析相比，小波包可以對信號的高頻部分進行更加細致的刻畫，具有更加精準的局部分析能力，對信號的分析能力更強。
2 圖像的降噪處理
　圖像降噪在信號處理中是一個經典問題，傳統的降噪方法多采用平均或線性方法(如維納濾波)進行，但降噪效果不夠好。隨著小波理論的日益完善，它以自身良好的時頻特性在圖像降噪領域受到越來越多的關注，開辟了用非線性方法降噪的先河[2]。
2.1 小波分析與圖像的降噪處理
　實際獲得的圖像一般都因受到某種干擾而含有噪聲。引起噪聲的原因有敏感元器件的內部噪聲、傳輸通道的干擾及量化噪聲等。噪聲產生的原因決定了噪聲的分布特性及與圖像信號的關系[3]。對于圖像而言，信息主要分布在低頻區域，噪聲主要分布在高頻區域，而圖像細節也分布在高頻區域，傳統的低通濾波方法將圖像的高頻部分濾除，雖然能夠達到降噪的目的，但也破壞了圖像細節。利用小波理論可以構造出一種既能降低圖像噪聲，又能夠保持圖像細節信息的方法。小波能夠降噪主要得益于小波變換的如下特點[2]：
　(1)低熵性。小波系數的稀疏分布，使圖像變換后的熵降低，也使信號和噪聲所在的頻帶得到了統計意義上的分離。
　(2)多分辨率特性。采用多分辨率的方法可以非常好地刻畫信號的非平穩性，如突變和斷點等。因此，可以在不同分辨率下根據信號和噪聲的分布去除噪聲。
　(3)去相關性。小波變換可對信號去相關，且噪聲在變換后有白化趨勢，所以小波域比時域更利于去噪。
　(4)基函數選擇靈活。小波變換可以靈活選擇基函數，也可以根據信號特點和降噪要求選擇多帶小波、小波包等，對不同的場合，可以選擇不同的小波母函數。
2.2 算法流程
　小波在圖像處理上的應用思路主要采用將空間或時間域上的圖像數據變換到小波域上，成為多層次的小波系數，根據小波基的特性，分析小波系數的特點，針對不同需求處理小波系數，再對處理后的小波系數進行逆變換，得到所需圖像。小波閾值降噪是實現簡單而且效果較好的降噪方法，可以通過二維的小波或小波包來實現。小波變換降噪算法流程如下：
　(1)選擇合適的小波和恰當的分解層次，對圖像進行小波分解；
　(2)對分解后的高頻系數進行閾值量化，對于分解的每一層，選擇一個恰當的閾值，并對該層高頻系數進行軟閾值量化處理；
　(3)根據小波分解后的第N層近似(低頻系數)和經過閾值量化處理后的各層細節(高頻系數)，計算圖像的小波重構。
　上述算法流程中，最關鍵是選擇閾值及進行閾值量化，閾值函數體現了對小波分解系數的不同處理策略及估計方法。常用閾值處理方法有3種：
　(1)默認閾值消噪：用函數ddencmp生成默認閾值，再用函數wdencmp進行消噪處理。
　(2)給定閾值消噪：利用經驗公式給定閾值，這種閾值可信度比默認閾值高，用函數wthresh進行閾值量化處理。
　(3)強制閾值消噪：直接將小波分解后的高頻系數全部置零，即濾除所有的高頻部分，這種方法簡單，但容易失去圖像中的有用成分。
　圖像的小波包降噪和小波降噪算法思想基本相同，此處不再贅述。另外，在進行小波包分解時可采用多種小波包基，通常根據分析圖像的要求選擇最優基，最優基可以通過函數besttree進行選擇。
3 Matlab仿真與分析
　圖像一般是二維信號，需要采用二維小波工具進行處理，本文用到的工具主要是二維小波變換和二維小波包變換。本文利用Matlab R2007對圖像sinsin進行降噪處理測試，并對處理過程中發現的問題進行分析總結。
3.1 圖像降噪處理的Matlab實現
　本文利用Matlab對圖像sinsin進行默認的閾值降噪處理，原始圖像如圖2(a)所示。首先在原始圖像中加入噪聲，加入噪聲后的圖像如圖2(b)所示，再利用小波處理函數wdencmp進行降噪處理。處理之前，利用函數ddencmp尋找處理參數，默認的參數如下：
　thr=4.4174(thr為這全局閾值)；
　sorh=s(軟硬閾值選擇，s為軟閾值)；
　keepapp=1(是否對低頻系數進行處理，1為否)。
　降噪過程中，小波分解使用小波‘sym4’，執行到第二層。降噪處理后的圖像如圖2(c)所示。

　利用小波包的處理過程與上述過程類似，不同的是降噪函數選用的是小波包處理函數wpdencmp，默認的處理參數如下：
　thr=4.968 5；
　sorh=h(硬閾值)；
　keepapp=1；
　crit=sure(熵名稱)。
　降噪過程中，小波包分解使用小波“sym4”，執行到第3層。降噪處理后的圖像如圖2(d)所示。

3.3 結果分析
　使用閾值降噪處理不可避免會造成圖像細節小程度上的丟失，因此，在降噪過程中需要考慮降噪與所保留圖像細小變化之間的權衡問題。從圖2可以看到，對同一幅圖像，小波變換和小波包變換兩種方法都不同程度地降低了圖像質量，但由于對高頻細節部分的處理不同，圖像平滑度上也呈現明顯的不同。
分析圖3、圖4可知，整個處理過程中，自適應濾波對高斯噪聲的去除效果較好，而中值濾波對含有椒鹽噪聲的圖像處理效果明顯。利用小波變換和小波包變換，采用的閾值處理方法有軟、硬兩種。硬閾值處理可以很好地保留圖像邊緣等局部特征，但圖像會出現偽吉布斯效應等視覺失真現象[4]，而軟閾值處理相對較平滑，處理得到的信號和原始信號具有同樣的光滑性[5]，但可能會造成邊緣模糊等失真現象[4]。雖然自適應濾波和中值濾波對高斯噪聲和椒鹽噪聲的去除各具優勢，但對于含有多種噪聲的圖像而言，小波變換和小波包變換還是更勝一籌。
　在利用Matlab進行默認閾值處理的過程中，本文利用ddencmp函數尋找默認的處理參數，在處理過程中，隨著所加噪聲強度的變化，小波變換尋找的默認全局閾值也呈現出波動，而小波包變換的處理過程中則并非如此。另外需要說明的是，降低圖像的噪聲，對于保證圖像質量，進行圖像壓縮也是一個關鍵環節。
圖像信息在現代生活中占據著舉足輕重的地位，隨著小波分析理論的不斷發展，其在圖像處理中的應用越來越多。本文對小波分析理論進行深入研究，將小波分析理論與圖像降噪處理相結合，利用Matlab R2007進行圖像降噪處理仿真，并以數據、圖像等形式給出處理結果，通過對實驗結果的分析，驗證了用小波分析理論進行圖像降噪處理能取得較好的效果。當然，圖像降噪僅僅是小波分析理論在圖像處理應用中很小的一部分，其在圖像的壓縮、增強、平滑、融合、視頻圖像分析等方面也具有更加廣泛而深刻的應用價值。
參考文獻
[1] 劉婭，李春明，李棟.基于小波分析的圖像去噪處理[J].電腦開發與應用，2009，22(9)：33-34.
[2] 葛哲學，沙威.小波分析理論與MATLAB R2007實現[M].北京：電子工業出版社，2007.
[3] 求是科技.Matlab7.0從入門到精通[M].北京：人民郵電出版社，2006.
[4] 關履泰.小波方法與分析[M].北京：高等教育出版社，2007.
[5] 飛思科技.MATLAB 6.5輔助圖像處理[M].北京：電子工業出版，2003.