摘 要： 采用直流電動機的實測參數建立直流電動機的模型；提出了PID控制系統框圖，并給出了該電動機的離散時間PI轉速控制器和PD位置控制器；通過MATLAB/Simulink仿真實驗，分析所設計系統在電動機空載和有載時的性能。實驗表明，所設計的控制器具有良好的動態性能，對于電動機的負荷變化具有很強的魯棒性。同時對面向實際應用的PID控制設計問題，進行了相應的分析和討論。
關鍵詞： PID控制；直流電動機；建模與仿真；速度控制；位置控制
電動機轉速和位置的控制是汽車、挖掘機等機械系統中最常見的控制問題。人們已經提出了若干現代控制方法和算法，例如自適應控制、模糊控制、預測控制、專家控制、神經網絡控制等[1－3]。然而，實踐和實驗表明，在實際產品的研發中，PID控制因其出色的適應性、有效性和魯棒性等特點，仍是研發者的首選控制方法。可以說，PID是歷史最久、生命力最強的控制方式
在闡述PID方法的文獻中[4-5]，一般采用圖1所示的典型控制系統框圖，但是在實際系統的PID控制設計中，直接應用圖1是有問題的。面向實際應用的PID控制問題，應該采用圖2所示的系統方框圖進行設計。
本文依據某公司一款直流電動機的實測參數建立電動機的連續時間數學模型，采用圖2所示的控制系統框圖設計該電動機轉速和位置的離散時間PID控制器，通過仿真實驗分析所設計系統的控制性能，并對設計中的有關問題進行分析和討論。
1 建模和PID控制設計
1.1 直流電動機的連續時間模型
假定轉子和軸都是剛性的。直流電動機的等效電路和機械參量如圖3所示，其中R和L分別為電機的等效電阻和電感，e是電機的反電勢，是電機的角速度，T是電機的轉矩，b是機械系統阻尼率，J是電機的轉動慣量。電動機轉矩T正比于電流，反電動勢e正比于電動機角速度，即有[4]：
其中，Kt和Ke分別為電樞常數和電動勢常數，在國際單位制下兩者相等，即：
Kt=Ke=K（3）
根據Kirchhoff定律和Newton定律，結合式（1）、式（2），由圖3可得直流電動機所滿足的方程為：
式（8）即為轉角位置控制下直流電動機的連續時間模型。當考慮速度控制時，系統輸出是d?茲/dt，因此速度控制下電動機的模型為：
其中電機的實驗室實測參數為：電阻R=4 ，電感L= 2.75×10-6 H，電動勢常數K=0.027 4 Nm/Amp，機械阻尼率b=3.5077×10-6 Nms，轉動慣量J=3.2284×10-6 kg·m2/s2。上述參數分別代入式（8）和式（9）后得：
1.2 連續時間PID控制
圖1中PID控制的輸入輸出關系為：
其中，Kp、Ki、Kd分別為比例、積分和微分增益。由式（12）可得PID控制器的系統函數為：
本文設計采用圖2所示系統，其中的電機控制特性單元將位置或轉速誤差相關信息u（t）轉換為電機控制電壓v（t）。
當將電機用式（8）或式（9）的數學模型表示時，電機是一個線性系統，其控制特性可以通過對階躍響應的分析確定，通常為一個比例環節，即有：
設計的關鍵問題就是根據被控對象確定Kp、Ki、Kd和Kv，使得閉環系統動態特性滿足要求。
1.3 電機轉速PID控制設計
在轉速控制設計時，該電機的模型為系統函數Hs（s），Hs（s）的單位階躍響應如圖4所示。由圖可知：
（1）階躍響應的穩態值[6]為y（∞）=sHs（s）=35.83 rad/s。考慮到在正常工作范圍內，電機轉速具有較好的線性控制特性，因此取：
Kv0.02791 V（16）
（2）該電機的穩定時間約為115 ms。
轉速控制的設計要求：（1）閉環系統階躍響應無超調振蕩；（2）閉環系統階躍響應的穩定時間小于40 ms；（3）閉環系統階躍響應無穩態誤差。
本文對于轉速采用PI控制，滿足設計要求的各增益參數為Kv=0.027 91、Kp=5、Ki=275，穩定時間約為25 ms，階躍響應曲線如圖5中的實線所示。作為對比，圖5同時還給出了開環系統的單位階躍響應（虛線）和單純P控制時的單位階躍響應（點劃線），可以看到動態性能得到有效的改善。
1.4 電機轉角PID控制設計
在轉角控制設計時，該電機的模型為Hp（s），其單位階躍響應如圖6所示。
轉角位置控制中，除穩定時間小于30 ms外，其他設計要求與速度控制類似。本文采用PD控制，所設計的增益參數為Kp=270、Kd=4.5，穩定時間約為20 ms，階躍響應曲線如圖7中的實線所示。作為對比，圖7同時還給出了開環系統的單位階躍響應（底部虛線）和單純P控制時的單位階躍響應（點劃線）。可以看到微分環節對于消除過調量有著顯著的作用。
1.5 離散時間PID控制設計
實現離散PID控制有多種方法[6]，這里采用雙線性變換將前面的連續PID控制轉換為離散PID控制。雙線性變換公式為：
實際應用中只需實現PID控制器的離散化。圖8、圖9分別為轉速和轉角控制下，離散閉環系統的單位階躍響應，可以看到其特性滿足要求。與式（19）和式（20）對應的離散PID計算公式分別為：
us（n）=us（n-1）+5.1375e（n）-4.8625e（n-1）（21）
up（n）=-up（n-1）+9270e（n）-8370e（n-1）（22）
2 有載電機仿真實驗
當電機加載工作時，負載的變化會導致電動機扭矩的變化，從而引起電動機轉速的變化。對于絕大多數電動機，扭矩和轉速間的關系可以用圖10所示的線性模型很好地近似，即：
仿真中采用圖11所示的系統進行有載模擬實驗，圖12~圖13是有載仿真實驗舉例。其中，假定負載引起的轉速變化范圍為[-80，80]（rpm），n（t）是周期為0.5 s的對稱三角波。圖13是有載情況下電動機輸出的轉速。可以看到，即使負載導致轉速有很大的變化（趨勢），所設計的PI控制器仍然能有很好的轉速控制作用。
參考文獻
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（收稿日期：2014-03-21）