摘  要： 非下采樣剪切波（nonsubsampled Shearlet）是一種優(yōu)秀的多尺度幾何分析工具，其不僅可以檢測(cè)到所有奇異點(diǎn)，而且能夠自適應(yīng)跟蹤奇異曲線方向。基于非下采樣剪切波，提出了一種使用帶有一致性的臨近支持向量機(jī)（a Proximal Classifier with Consistency，PCC）的圖像去噪算法。首先，應(yīng)用非下采樣剪切波把含噪圖像分解成不同尺度不同方向的子帶；其次，非下采樣剪切波系數(shù)通過(guò)PPC訓(xùn)練被分成兩類（無(wú)噪系數(shù)和噪聲系數(shù)）；最后應(yīng)用自適應(yīng)閾值對(duì)含噪系數(shù)進(jìn)行去噪。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法不僅擁有較強(qiáng)的抑制噪聲能力，而且具有較好的邊緣保護(hù)能力。

　　關(guān)鍵詞： 圖像去噪；非下采樣剪切波；帶有一致性的臨近支持向量機(jī)；自適應(yīng)閾值；邊緣保護(hù)

0 引言

　　圖像在獲取和傳輸?shù)倪^(guò)程中，經(jīng)常會(huì)受到各種噪聲的污染。噪聲的存在將大大降低原圖像的分辨率，從而嚴(yán)重影響后續(xù)的圖像處理，如圖像檢索、圖像分割等。因此，圖像去噪始終是圖像處理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。

　　一般說(shuō)來(lái)，傳統(tǒng)圖像去噪方法大致可以劃分為雙邊濾波、非局部均值、條件隨機(jī)場(chǎng)、各向異性擴(kuò)散和統(tǒng)計(jì)模型方法等[1]。

　　雙邊濾波[2]不僅考慮空間位置上的距離關(guān)系，同時(shí)也考慮相鄰像素灰度值之間的距離關(guān)系，然而，它常常使圖像過(guò)于平滑；非局部均值法[3]利用圖像中具有重復(fù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)來(lái)去除噪聲，可以得到較好的去噪效果，但它計(jì)算復(fù)雜度高；條件隨機(jī)場(chǎng)[4]建模比較靈活，且并不需要明確的先驗(yàn)?zāi)Ｐ汀Ｈ欢谡鎸?shí)世界中，很難找到擁有全局最小值的能量函數(shù)；各向異性擴(kuò)散法[5]，它能在保持邊緣的前提下平滑噪聲，獲得較好的去噪效果，但是該方法過(guò)于平滑圖像且邊界過(guò)于尖銳；統(tǒng)計(jì)模型法[6]中，圖像處理通常基于簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)模型去刻畫(huà)圖像信息，這些信息往往是自然圖像的某些共同特征。統(tǒng)計(jì)模型的目的就是使用少量的參數(shù)捕獲這些典型的特征，并且將這些特征在圖像處理中作為先驗(yàn)信息使用。

　　近些年來(lái)，應(yīng)用分類方法進(jìn)行去噪越來(lái)越流行，PCC[7]是一種新型分類器，通過(guò)計(jì)算兩個(gè)距離（決策過(guò)程的測(cè)試點(diǎn)與超平面的距離和訓(xùn)練過(guò)程的測(cè)試點(diǎn)與超平面的距離）使得分類精度得到提高。本文以性能優(yōu)良的非下采樣Shearlet變換為基礎(chǔ)，結(jié)合先進(jìn)的PCC分類工具，提出了基于PCC的非下采樣Shearle域圖像去噪算法。

1 PCC簡(jiǎn)介

　　支持向量機(jī)（SVM）在樣本處理的過(guò)程中用于解決二次規(guī)劃的問(wèn)題十分耗時(shí)。O.L.Mangasarian和E.W.Wild提出利用廣義特征值的臨近支持向量[8]，它通過(guò)求解一組非平行超平面，使得計(jì)算效率優(yōu)于SVM。Shao Yuanhai等人提出了帶有一致性的臨近支持向量機(jī)（a Proximal Classifier with Consistency，PCC）[7]，它通過(guò)計(jì)算兩個(gè)距離（決策過(guò)程的測(cè)試點(diǎn)與超平面的距離和訓(xùn)練過(guò)程的測(cè)試點(diǎn)與超平面的距離），在計(jì)算效率提高的同時(shí)，使得分類精度也得到了提高。

　　PCC的目標(biāo)是同時(shí)找到一個(gè)p+和p-，記作：p+：w+T+b+=0和p-：w-T+b-=0。

　　首先定義正元素X+與正超平面l+的距離：

　　其中M=H+-vH-，N=H--vH+。這樣問(wèn)題的最優(yōu)解可以轉(zhuǎn)化為求以下兩個(gè)最小值：

　　在獲得上面問(wèn)題的結(jié)果u+=（w+，b+），u-=（w-，b-）后，就可以通過(guò)以下判別公式去判斷一個(gè)樣本x∈Rn屬于最近超平面所在的類：

2 非下采樣Shearlet變換簡(jiǎn)介

　　圖像去噪時(shí)，邊緣和紋理等主要特征是需要保留下來(lái)的，Shearlet變換[9-10]是對(duì)紋理和邊緣具有很好表示能力的變換，它是Labate和Guo等人通過(guò)特殊的具有合成膨脹的仿射系統(tǒng)構(gòu)造的。其具有的合成膨脹仿射系統(tǒng)可以表示為：

　　如果ΨAB（Ψ）是緊框架，即滿足Parseval框架，那么對(duì)任意f∈L2（R2）都有：

　　ΨAB（Ψ）的元素其實(shí)是合成小波，Aj是與尺度變換相關(guān)聯(lián)的伸縮矩陣，Bl與剪切和旋轉(zhuǎn)等面積不變的幾何變換相關(guān)聯(lián)。當(dāng)時(shí)，其形式就是Shearlet變換。本方案采用非下采樣Shearlet變換，它不僅具有Shearlet變換的優(yōu)點(diǎn)：臨界采樣、局域性、各向異性、多方向性等，而且增加了平移不變性，這使得它在圖像去噪領(lǐng)域的應(yīng)用更加廣泛。設(shè)參數(shù)scale=[s1s2…sL]，則可分解為L(zhǎng)尺度，每個(gè)尺度分解為2個(gè)方向。圖1為Zoneplate圖像在參數(shù)scale=[2 3]下的非下采樣Shearlet分解，第一尺度分解為8個(gè)方向，第二個(gè)尺度分解為4個(gè)方向。

3 基于PCC的非下采樣Shearlet域去噪

　　在非下采樣Shearlet域，有：

　　v=u+e（7）

　　其中u，v，e分別代表原始圖像非下采樣Shearlet系數(shù)、含噪圖像非下采樣Shearlet系數(shù)以及噪聲系數(shù)。問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成給定v估計(jì)u。去噪的步驟如下：

　　（1）對(duì)含噪圖像進(jìn)行非下采樣Shearlet變換得到不同尺度不同方向的變換子帶。

　　（2）有意義系數(shù)的測(cè)量。自然圖像經(jīng)變換后的高頻子帶中大部分區(qū)域是由小系數(shù)組成的，且這些小系數(shù)被少量的大系數(shù)（邊緣和紋理）分隔開(kāi)來(lái)，其中只有邊緣和紋理可以被人眼清晰地看見(jiàn)。所以在圖像去噪過(guò)程中，人們通常把高頻子帶中邊緣和紋理部分盡可能地保留下來(lái)，其他部分當(dāng)成噪聲系數(shù)濾掉，進(jìn)而獲得不含噪聲的圖像。邊緣和紋理這些需要保留下來(lái)的系數(shù)定義為“有意義系數(shù)”。

　　對(duì)變換后子帶中的每個(gè)系數(shù)，使用下面的規(guī)則[11]將它們標(biāo)記為0和1：

　　其中tj為隨著分級(jí)不同而變化的閾值：

　　通過(guò)上述方法構(gòu)成了一幅“二元圖”（圖中只包含0和1）。數(shù)值為0的點(diǎn)和數(shù)值為1但孤立存在的點(diǎn)都認(rèn)為是噪聲點(diǎn)，其他的點(diǎn)是否為噪聲點(diǎn)還需要進(jìn)一步判斷。在文獻(xiàn)[12]中，只有系數(shù)為1的點(diǎn)連在一起的個(gè)數(shù)大于某一個(gè)值S時(shí)被認(rèn)為是有意義系數(shù)即非噪聲點(diǎn)，而數(shù)值小于S的點(diǎn)則為噪聲點(diǎn)。在有意義系數(shù)最多的一條路徑上挑出Nk個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的非下采樣Shearlet系數(shù)組成特征向量Fk1。在標(biāo)記為0的系數(shù)中隨機(jī)選擇Nk個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的非下采樣Shearlet系數(shù)組成特征向量Fk2。Nk為最長(zhǎng)連續(xù)路徑中點(diǎn)的總數(shù)。

　　（3）利用PCC對(duì)高頻子帶的系數(shù)進(jìn)行分類。應(yīng)用步驟（2）中所生成的特征向量作為訓(xùn)練樣本?贅k={Fk1，F(xiàn)k2}（k=1，2，…，N），送入PCC中，將對(duì)應(yīng)的高頻子帶的所有非下采樣Shearlet系數(shù)分成噪聲系數(shù)和有意義系數(shù)。

　　（4）應(yīng)用閾值函數(shù)進(jìn)行去噪，傳統(tǒng)的閾值函數(shù)分為硬閾值方法和軟閾值方法。

　　硬閾值方法：可以很好地保留信號(hào)或者圖像的邊緣等局部特征，但重構(gòu)所得的信號(hào)或圖像可能會(huì)出現(xiàn)震蕩、偽吉布斯效應(yīng)等視覺(jué)失真現(xiàn)象。

　　軟閾值方法：估計(jì)出來(lái)的系數(shù)連續(xù)性好，去噪效果也平滑很多，但可能會(huì)導(dǎo)致邊緣模糊等失真現(xiàn)象，會(huì)給信號(hào)或圖像的重構(gòu)帶來(lái)不必要的誤差。

　　本文采用全新的閾值函數(shù)[13]：

　　經(jīng)過(guò)多級(jí)非下采樣剪切波變換后使得含噪圖像的各尺度、各子帶的能量分布不同。本文根據(jù)變換的特性及噪聲的分布特點(diǎn)，參照文獻(xiàn)[14]，選取了合適的自適應(yīng)閾值：

　　①帶噪聲圖像信號(hào)的方差可用下式估計(jì)：

　　其中，J表示尺度，K表示該尺度上的方向。

　　②可以得到原始圖像信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)：

　　③計(jì)算每一級(jí)尺度參數(shù)：

　　其中，j=1，2，J；Lk表示k級(jí)子帶長(zhǎng)度。

　　④得到自適應(yīng)于不同尺度、不同方向的閾值：

　　（5）通過(guò)上述步驟得到去噪后系數(shù)，對(duì)去噪后的系數(shù)進(jìn)行非下采樣Shearlet逆變換，得到去噪圖像。

4 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

　　為了檢驗(yàn)算法的正確性和有效性，使用標(biāo)準(zhǔn)圖像Lena、Barbara疊加均值為零的高斯白噪聲進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中與幾種經(jīng)典去噪算法進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果如表1所示。圖2、圖3給出了Lena圖像的主觀視覺(jué)去噪結(jié)果，并對(duì)細(xì)節(jié)部分進(jìn)行了局部放大。

　　實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本方案不僅客觀指標(biāo)（PSNR）比其他方法要好，而且主觀效果也比其他方法好，這說(shuō)明本算法在去除噪聲的同時(shí)很好地保護(hù)了邊緣和紋理信息。

5 結(jié)論

　　圖像去噪在整個(gè)圖像處理過(guò)程中占有十分重要的地位。本文基于優(yōu)秀的多尺度幾何分析工具（非下采樣Shearlet變換）和分類精度更好的臨近支持向量機(jī)（PCC），采用自適應(yīng)閾值確定方法，提出了新的圖像去噪算法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法能夠很好地對(duì)噪聲分布進(jìn)行估計(jì)進(jìn)而去除圖像中的高斯白噪聲，提取圖像的輪廓細(xì)節(jié)，改善圖像的視覺(jué)效果，能夠在提高去噪圖像的PSNR值的同時(shí)保護(hù)邊緣紋理信息。

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