李常春1，陳  彬1，黃銀華2，盧  欣1， 李  磊1

　　（1.國網天津市電力公司電力科學研究院，天津 300000;2.福建省電力設計院， 福建 福州 350003）

　　摘  要： 介紹了新型電力系統仿真軟件InterPSS和三種潮流計算方法的基本原理，基于InterPSS軟件建立了IEEE-30節點系統仿真模型并進行三種方法的潮流仿真計算，比較了同一收斂精度水平下三種潮流計算方法的收斂性，并對高斯-塞得爾法中加速因子的作用機理進行了分析。最后展望了InterPSS在電力系統仿真中的應用前景。

　　關鍵詞： InterPSS；潮流計算；收斂性；電力系統仿真；加速因子

0 引言

　　隨著計算機技術和網絡技術在電力系統中的應用越來越廣泛，現在已經有越來越多的電力系統運行控制調度、電力系統設計、仿真等工作都由計算機來完成。由此產生的眾多電力系統運行、仿真軟件也在電力系統中得到廣泛應用，比較常用的有PSASP、BPA、EMTP、PSCAD/EMTDC、NETOMAC等。但是這些仿真軟件都或多或少地存在不利于維護、難以擴展和不易與其它系統兼容等問題。InterPSS基于Internet和面向對象的技術，使用靈活，擴展方便，有效克服了上述弊端。本文通過InterPSS軟件建立了IEEE-30電力系統的模型，進行了三種潮流計算的仿真和比較，在不同加速因子下進行了高斯-塞得爾迭代方法潮流仿真計算，分析了加速因子對潮流計算收斂性的影響。

1 典型潮流計算方法概述

　　利用電子計算機進行電力系統潮流計算從上個世紀50年代中期就已開始。在過去的幾十年里，采用了各種不同的計算方法。各種計算方法都必須綜合考慮以下因素[1]：（1）計算方法的可靠性或收斂性；（2）對計算機內存的要求；（3）計算速度；（4）計算的方便性和靈活性。

　　電力系統潮流計算在數學上表現為一組多元非線性方程式的求解問題，其解法都離不開迭代。即在假設某一組狀態（母線電壓）的情況下求殘差（母線注入功率），根據殘差再修正狀態，直至殘差或修正值達到要求為止。高斯-塞得爾法就是一種最基本的非線性方程的迭代算法。

　　1.1 高斯-塞得爾法（GS法）

　　利用高斯-塞得爾法可直接迭代解節點電壓方程,將節點電壓方程展開，移項可得

　　將上式進一步展開即得高斯-塞得爾法的迭代公式[2]。

　　式中Pi-jQi——給定的各節點注入功率的共軛值，i=1、2、……、n；

　　Ｕ·1 ——給定的平衡節點電壓；

　　k——迭代次數。

　　當某一次迭代解得的Ｕ·i（k+1）與（i=2、3、4、……n）前一次迭代解得的Ｕ·i（k）（i=2、3、4、……n）相差小于事先給定的允許誤差，即|Ｕ·i（k+1）-Ｕ·i（k）| （i=2、3、4、……n）時，認為迭代已收斂。

　　以上假設沒有PV節點，在有PV節點的情況下，由于這些節點的電壓要求，其無功受限制，應對上述公式予以修正，在此不再贅述。

　　1.2 牛頓-拉夫遜法（NR法）

　　牛頓-拉夫遜法是解非線性方程式的有效方法。這個方法把非線性方程式的求解過程變成反復對相應的線性方程的求解過程，通常稱為逐次線性化過程，這是牛頓-拉夫遜法的核心。由于電力系統的龐大和復雜性，在潮流計算中，往往要進行高階的非線性方程組的求解。概括地講，潮流計算是由系統各節點給定的復功率求解各節點電壓向量的問題。在極坐標情況下節點功率方程式如下[2]。

　　式中, θij=θi-θj為i、j兩節點電壓的相角差，Pi、Qi分別為節點的有功和無功功率，Vi、Vj為節點電壓，Gij、Bij為節點i、j之間電導和電納。

　　極坐標下的修正方程如下式：

　　通過反復地迭代修正方程，直至功率不平衡量滿足以下條件：

　　||ΔP（t）, ΔQ（t）||<ε（5）

　　判定迭代收斂。其中||ΔP（t）, ΔQ（t）||是向量ΔP（t）, ΔQ（t）中最大的分量的絕對值。

　　牛頓-拉夫遜法由于它的收斂性較好且由于修正方程式的稀疏性，節約了大量的計算機內存并減少了運算量，從而有較高的計算速度。所以在上個世紀60年代后期成為了應用最廣泛的解決系統潮流的方法。目前仍作為一種主要的潮流計算方法大量使用。相比高斯-塞得爾法，其在收斂性和運算速度上都有很大改進[3]。

　　1.3  P-Q分解法（PQ法）

　　P-Q分解法是極坐標下的牛頓-拉夫遜法的基礎上通過改進和簡化而來的。它的基本思想是：把節點功率表示為電壓向量的極坐標方程式，抓住主要矛盾，以有功功率誤差作為修正電壓向量角度的依據，以無功功率誤差作為修正電壓幅值的依據，把有功功率和無功功率迭代分開進行。從而達到快速解耦潮流計算的目的[2]。

　　在牛頓-拉夫遜法的修正方程基礎上，考慮大型電網的兩個特性：（1）大型電網中，各元件的電抗一般遠遠大于電阻。從而各節點的電壓相位的改變主要影響各元件中的有功功率潮流，也就是影響各節點的注入有功功率；各節點電壓的大小改變主要影響各元件中的無功功率潮流也就是影響各節點的注入無功功率。（2）一般線路兩端的相角差不會很大（通常不超過）。從而得到簡化的功率誤差方程式：

　　P-Q法相對于牛頓-拉夫遜法，無論是在計算速度和內存方面都有很大改善。由于迭代時的雅可比矩陣就是導納矩陣的虛部，因此在迭代過程中不必像牛頓-拉夫遜法那樣進行形成雅可比矩陣的計算，這樣不僅減少了運算量，而且也大大簡化了程序。另外，由于系數矩陣在迭代過程中維持不變，顯著提高了迭代速度。由于P-Q法大大提高了潮流計算的速度，不僅可以用于離線計算，還可以用于在線電力系統安全監視，因此P-Q法獲得了非常廣泛的應用，是目前最流行的潮流計算方法。

2  InterPSS軟件簡介

　　InterPSS是建立在互聯網（Internet）技術基礎之上開發的新一代電力系統仿真軟件系統。它基于一個面向對象（Object-Oriented）電力系統仿真框架（Framework），采用靈活的、可擴展的軟件結構。在該結構中，軟件模塊可以相互交換和靈活嵌入。InterPSS 包括潮流計算、短路計算、繼電保護協調、諧波分析、暫態穩定性計算、動態穩定性小擾動計算、可靠性分析及許多典型電力系統設計、分析和仿真模塊。作為一個開放式的電力系統仿真綜合集成平臺,它使任何按照InterPSS仿真框架接口規范開發的電力系統仿真算法、用戶界面和輸入輸出模塊, 都能方便地嵌入InterPSS[4-6]。

3 潮流計算實例仿真與分析

　　3.1 不同潮流計算方法收斂性比較與分析

　　本文利用InterPSS軟件的潮流計算仿真功能，在同一收斂精度下，對IEEE-30節點系統進行仿真。IEEE-30系統如圖1所示。

　　在收斂精度為0.000 1 p.u.，即允許的最大功率不平衡量為10 kVA時（系統的功率基準為100 MVA），實驗測得各種算法的最大迭代次數如表1所示。

　　由表1可知，在相同的條件下，對IEEE-30系統進行潮流計算時，NR法所需的迭代次數最少，PQ法次之，GS法所需的迭代次數最多。表中數據說明：

　　（1）GS法相對于其它兩種算法，在收斂性方面確實難以匹敵。這是因為牛頓-拉夫遜法采用梯度法求解，因而具有二階的收斂速度；而P-Q分解法在迭代過程中由于雅可比矩陣的不變性，而大大提高了迭代的速度從而加快潮流收斂的速度。

　　（2）NR法所需的迭代次數比PQ法少。PQ法所采取的一系列簡化假定只影響了修正方程式的結構，也就是說只影響了迭代過程，但并不影響最終結果。因為PQ法和NR法都采用了相同的數學模型，最后計算功率誤差和判斷收斂條件都嚴格按照精確公式進行，所以PQ法和NR法一樣可以達到很高的精度。由于迭代過程的改變，PQ法的收斂特性也就相應改變。在數學上，像PQ法那樣依一個不變的系數矩陣進行非線性方程組的求解迭代，稱為“等斜率法”，其迭代過程具有幾何級數收斂特性，在對數坐標上表現為一條直線。而NR法則是按照平方收斂的，在對數坐標上表現為一拋物線。

　　在迭代開始時，NR法會收斂較慢，但是隨后它的收斂速度非常之快，而PQ法幾乎是按同一速度收斂的。我們選擇的收斂精度是0.0001 p.u.，在這個精度下PQ法的迭代次數要比NR法多。另外，PQ法的收斂性還受實際電壓等級和參數的影響。因為PQ法是建立在cos θij≈1、Gijsinθij<<Bij和Qi<<Bii的假設條件上的。如果系統參數不符合這兩個條件時，就會影響它的收斂性。在高壓電網中一般都能滿足這兩個條件。本文采用的IEEE-30電網也只是中高壓電網，所以以上假設條件并不能很好地符合，這在一定程度上影響了PQ法的收斂性，使迭代次數有所增加。

　　3.2  GS法加速因子的影響與分析

　　為進一步驗證InterPSS在潮流仿真中的正確運用，以下對GS法在不同的加速因子下的潮流計算結果進行比較與分析。在不同的加速因子情況下，GS法對IEEE-30系統進行潮流計算收斂時的相應迭代次數如表2所示。

　　由表2可知，加速因子的使用有利于加快迭代收斂的速度。并且加速因子的選擇并不是越大越好或是越小越好。相對于沒有采用加速因子的情況而言，采用加速因子可以很明顯的改善迭代計算的收斂性，這可在數學上給出證明。給出迭代計算的收斂定理如下[7]：

　　定理　對于方程f（x）=0, 其迭代形式為

　　x=g（x）（7）

　　若迭代函數滿足g（x）條件：

　　（i）在區間[a,b]上g′（x）存在,且|g′（x）|≤L（其中L為小于1的正常數）；

　　（ii）對任意x∈[a,b]，都有g（x）∈[a,b]，則：

　　（1） 對任取初始值x0∈[a,b], 迭代公式xk+1=g（xk）產生的迭代序列{xk}都收斂于方程x=g（x）在[a,b]上的唯一實根x*；

　　結論（1）表明，只要選擇的迭代函數g（x）在區間[a,b]滿足條件（i）,（ii），那么方程在該區間上存在唯一的實根，而且當x0∈[a,b]時，迭代公式xk+1=g（xk）必收斂。結論（2）表明，要使|x*-xk|≤ε，只要|xk+1-xk|≤ε，因此可用前后兩次近似根的接近程度，即用|xk+1-xk|的大小來判斷xk+1是否滿足精度要求。結論（3）表明常數L越小，迭代收斂的速度越快。

　　應用到GS法中，設潮流的基本方程為f（v）=0，其第k次迭代的近似根為vk，則按（7）式有vk+1=g（vk）。將vk+1作為過渡值并記為k+1=g（vk），利用vk和k+1的某種線性組合作為新的近似根vk+1，如vk+1=αk+1+（1-α）vk，其中α的為待定系數，α的確定方法如下。

　　設v*為方程f（v）=0的一個實根, 則v*=g（x*），k+1=g（vk），兩式相減得

　　v*-k+1=g（v*）-g（vk）

　　由微分中值定理有

　　v*-k+1=g′（ξ）（v*-vk）,ξ∈（v*-vk）。

　　假設g′（v）在求根區間內變化不大，則可取某定值m來近似代替。由于v=g（v）收斂，因此有|g′（v）|<1，即|m|≈

　　|g′（v）|≤L<1，則由上式可得v*≈m（v*-vk）+k+1從而

　　由此可得待定系數α為，由于|m|<1，當m<0時，vk+1將在k+1和vk的之間，稱為內插法；當m>0時，vk+1在k+1和vk的延長線上，即所謂的“外插法”。以下證明采用這種線性組合的方法后可以加速收斂。

　　將（8）式的迭代函數記為Ψ(v)，則

　　由收斂定理知|g′（v）|≤L<1時序列{vk}收斂，且L越小收斂越快，則如果Ψ(v)和g(v)滿足|Ψ′(v)|<|g′(v)|，就說明式(9）比式(8）式收斂得快。

　　對Ψ(v)函數求導，可得

　　由于式(8）假設g′（v）在求根區間內變化不大且用m來近似代替，因此g′（v）-m≈0，即Ψ′(v)很小，接近于0。所以有|Ψ′(v)|<|g′（v）|，因此式(8）比式(7）式收斂得快，從而證明了加速因子的確可以加快收斂的速度。

4 結語

　　本文基于InterPSS的潮流仿真功能，通過對IEEE-30系統進行了完整的潮流計算，得出了在相同的精度和最大迭代次數情況下各自的迭代次數。比較了三種潮流計算方法的收斂性，結果顯示高斯-塞得爾法的計算速度和收斂性都遜色于牛頓-拉夫遜法和P-Q分解法，并論證了這種現象的原因。此外還從數學上證明了高斯-塞得爾法中加速因子的加速收斂作用。

　　本文僅應用了InterPSS潮流計算模塊，由于該仿真軟件高度開放，用戶可根據需求自行編譯計算模塊，為電力工作者提供了一個良好的交流和學習的平臺，也必將在未來電力系統仿真計算中得到更為廣泛和深入的應用。

參考文獻

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