黃務蘭1,2，張濤1,3

　　（1.上海財經大學 信息管理與工程學院,上海 200433； 2.常州大學 商學院, 江蘇 常州 213164；3.上海財經大學 上海市金融信息技術研究重點實驗室，上海 200433）

      摘要：該文以最小化配送時間為目標，研究帶時間窗的車輛路徑問題，建立整數規劃模型。為了加快遺傳算法的收斂速度和尋優能力，提出一種改進遺法算法IGALS (Improved Genetic Algorithm with Local Search)。改進算法借用精英保留策略，采用點交叉和段交叉算子結合的交叉算子；提出路段允許延遲時間概念，并以此為依據使用局部搜索策略進一步提高解的質量。通過Solomon標準算例測試，驗證了改進算法(IGALS)較簡單遺傳算法(GA)具有更好的全局尋優能力和更快的收斂速度。

　　關鍵詞：帶時間窗車輛路徑問題；遺傳算法；交叉算子；局部搜索；整數規劃

0引言

　　車輛路徑問題(Vehicle Route Problem，VRP)的研究最早由DANTZIG G和RAMSER J于1959年提出［1］，近60年來始終是運籌學與組合優化領域的研究熱點，受到了國內外研究者的廣泛關注。為了滿足實際需求，學者對VRP問題逐步進行了擴展和變形。其中帶時間窗車輛路徑問題（Vehicle Route Problem with Time Windows，VRPTW）是在車輛路徑問題的基礎上加入了時間窗約束。加入時間窗后，極大地增加了VRP問題計算難度和復雜度，除了考慮VRP問題空間方面的路徑之外，還必須考慮時間上的排程，因此吸引了許多國內外學者對其進行研究，成為VRP問題研究領域最熱門的研究方向之一［24］。本文研究帶時間窗路徑優化問題，以最小化配送時間為目標建立路徑優化數學模型，借用精英策略思想設計交叉算子提高遺傳算法的尋優性能，并使用基于延遲時間的局部搜索策略進一步提高解的質量。

1問題描述和數學建模

　　帶時間窗車輛路徑優化問題描述為：某快遞配送中心擁有M輛型號相同且載重量為Q的配送車輛，為N個已知客戶做派發快件服務。每個顧客服務位置和需求量已知，客戶具有服務時間窗［ETi,LTi］，即最早和最遲開始服務時間，以及持續服務時間STi，如果車輛到達客戶i的時間早于ETi，車輛需要在客戶i處等待。現要求對該問題進行路徑規劃，要求在最小化成本的前提下配送完所有客戶所花費的總時間最少。為了能更準確地表述模型，引入如下符號體系:M表示可供使用的最大車輛數；N表示客戶數目；Q表示車輛的最大載重量；tij表示顧客i到顧客j的路由時間； ［ETi,LTi］表示節點i的時間窗；ATi表示車輛到達節點i的時間；Si表示車輛k開始服務節點i的時間；WTi表示車輛在客戶i處的閑置等待時間；STi表示顧客i持續服務時間，為已知量。

　　定義如下決策變量：

　　xijk=1,車輛k由客戶i駛向客戶j

　　0,其他

　　yik=1,客戶i的配送任務由車輛k完成

　　0，其他

　　本文目標是合理安排配送路徑，力求配送完所有客戶所花費的總時間最少。其中，配送時間分為三部分：車輛的路由時間，可由式(1)表述；車輛因時間窗未開在客戶處的等待時間，可由式(2)表述；服務客戶的時間，因該時間是一已知量，與決策安排無關，因此不列入目標函數中。

　　式(4)表示客戶i只能由一輛車為其配送服務；式(5)表示配送中心最多發出M輛車；式(6)和式(7)表示兩個變量之間的關系；式(8)確保每輛車承載的貨物總量不超過其最大容量，且不為負；式(9)初始化到達配送中心時間、開始服務時間與持續服務時間都為0；式(10)表示車輛到達客戶i的時間先于或等于開始服務時間，且為非負時間；式(11)表示顧客i的持續服務時間為正數；式(12)表示車輛由客戶i到達客戶j的時間計算公式，即前驅點與后繼點的時間關系；式(13)表示服務客戶i的時間應滿足時間窗約束；式(14)表示實際開始服務客戶i的時間計算方法； 式(15)和式(16)分別表示變量xijk和yik的取值范圍為0或1。

2求解算法設計

　　2.1改進的交叉算子

　　遺傳算法是由美國的HLLAND J H教授［5］最早提出的，是一類借鑒生物界自然選擇和自然遺傳機制的隨機搜索算法。本文結合實際問題，提出一種改進的遺傳算法，稱之為IGALS (Improved Genetic Algorithm with Local Search)。

　　本文采用點交叉和段交叉結合的方式，保證遺傳算法種群的多樣性。其中點交叉采用循環交叉方法，段交叉方法借用精英策略的思想。它將每輛車的行駛線路劃分為一段，對每一段線路計算目標值。將單個種子某趟車目標值優的路線保留不變，同時借鑒參與交叉的另一種子中目標值優的某趟車路線來替換目標種子中目標值劣的某車輛路段，交換之后去掉重復節點，這樣可以有目的地進一步優化目標種子的解。

　　設有15個節點，參與交叉的父代種子Pr1和Pr2，其中每個種子按單趟車輛線路劃分為4段，種子內部適應值最優車輛線路標識為Elite1和Elite2，最壞適應值車輛路段分別標識為Worse1和Worse2，如圖1所示。

　　交叉過程中種子內部次序調整如下，即將最壞路段置為第一段，精英路段置為第二段，如圖2所示。

　　最后，將交叉種子精英路段替換掉目標種子最壞路段，并去掉后面重復節點。交叉后的兩種子如圖3所示，其中“*”號表示去掉重復種子留下的空位。去掉目標種子的最壞路段節點，Pr2中的11、13節點是有待進行重新插入的節點，必要時進行重新排序的操作，交叉后的兩種子如圖4所示。

　　2.2局部搜索策略

　　局部搜索算法也稱大規模鄰域搜索（Large Neighborhood Search，LNS），是一類改正型算法，它是1998年由SHAW P［6］提出的，算法的每一步迭代都是通過搜索當前解的鄰域得到一個改進的解。因時間窗約束，種子在迭代過程中解的質量并不十分理想。基于此，本文設計一種局部搜索(Local Search)策略，提出路段允許延遲時間概念，依據該指標，在可行線路中進行局部搜索，最大限度地減少節點等待時間，進一步優化遺傳算法的求解性能，找到使目標值更優的解。

　　設有一條可行線路Routek(v0,v1,…,vi－1,vi,vi+1,…,vn,v0)，其中v0為配送中心， vi(i=1,2,3…n)為車輛要配送貨物的客戶點，已知客戶i的時間窗［ETi，LTi］和配送中心時間窗［0,H］，車輛在vi點的持續服務時間STi，tij為車輛從i到j的時間，WTi為車輛在vi點的等待時間。

　　定義每個節點的最早完成時間Vei和最遲開始時間Vli，最早完成時間Vei表示車輛完成從v0到vi配送任務的最早時間，而最遲開始時間Vli表示車輛順利完成vi到vn各點的配送任務，應在vi點開始作業的最晚開始時間。

　　Vei和Vli的計算方法如下：

　　Vei=max(ETi+STi,Vei－1+ti－1,i+STi)(17)

　　Vli=min(LTi,Vli+1－ti,i+1－STi)(18)

　　因車輛在配送中心無配送任務，ST0=0，故Ve0=ET0=0，Vl0=LT0=H，從Ve0＝0開始依次計算Ve1、Ve2、…、Ven的值。從Vl0＝H開始依次計算Vln，Vln－1，…，Vl1的值。

　　定義：相鄰節點(vi,vj)即某一路段的允許延遲時間用DTij表示:

　　DTij=Vlj－Vei(19)

　　(1)移除策略

　　①移除路由時間tij比較大的客戶節點j將其從原始路線中移出；②移除等待時間WTj較大的客戶節點j；③移除tij+WTj值較大的客戶節點。

　　（2）重插策略

　　①將違反時間窗和載重量的位置排除，這些位置不能插入；②設有可行線路(v0,v1,…,vi－1,vi,vi+1,…，vn,v0)，將vj點插入vi－1到vi之間的充要條件是:

　　DTi－1,i≥ti－1,j+tji－ti－1,i+STj (20)

　　很明顯，采用該局部搜索策略會明顯降低目標值中的等待時間，充分發揮尋優作用。

3仿真實驗和數據分析

　　本文采用Solomon標準測試算例C1、R1、RC1型數據進行測試，它們具有時間范圍較短，車輛容量較小的特點，適合模擬本文描述問題。

　　實驗采用C++語言，在Visual Studio 2010集成開發環境中編寫，程序運行在Win 7系統中的Intel Corei5，2.5 GHz主頻(6 GB內存)，64位的Laptop機上。車輛路由速度為單位速度，交叉概率pc=0.75，變異概率pm=0.10，種群規模設為100，表1是兩種算法每個算例運行10次的結果，平均目標值為10次取平均的結果。可見，29組測試數據中，改進的混合遺法算法平均目標值全部優于簡單遺傳算法，最大改進率高達35.54%。改進的混合遺傳算法使用局部搜索策略和精英交叉策略，加快了尋優速度，并能有效地避免算法陷入局部最優。

　　算例R101最優結果的迭代過程如圖5所示，橫軸代表算法迭代次數，縱軸代表最優解的值。簡單遺傳算法在迭代20 000次左右陷入了局部最優解，最優值為2 724.61，可以看出算法的最大缺陷是“早熟”。改進的混合遺傳算法前段收斂速度較快，其中迭代到16 000次左右遇到一個局部較優解，目標值為2 704.58，但是算法很快就跳出該解，最后求得一個更優解，目標值降到2 568.44。改進的混合遺傳算法在后段能夠跳出局部最優解，主要是局部搜索算法進一步尋優的結果。說明改進的混合遺傳算法能夠較好地避免“早熟”并有較快的收斂速度。

4結論

　　當前電子商務的快速發展帶動了快遞物流業的發展，影響快遞服務質量的關鍵因素之一為快遞配送時效。本文以最小化快遞配送時間為目標，研究帶時間窗的車輛路徑問題，建立數學模型；為克服遺傳算法收斂速度慢和早熟的缺陷，設計并采用了一種段交叉算子和基于延遲時間的局部搜索策略。通過Solomon標準算例測試表明，改進的混合遺傳算法較簡單遺傳算法有較好的全局尋優能力，驗證了本文算法的有效性。

參考文獻

　　［1］ DANTZIG G, RAMSER J. The truck dispatching problem［J］.Management Science,1959, 6 (1): 8091.

　　［2］ SOLOMON M, DESROSIERS J.Time window constrained routing and scheduling problems: a survey［J］.Transportation Science,1988,22(1):113.

　　［3］ NAZIF H, LEE L S. Optimized crossover genetic algorithm for vehicle routing problem with time windows［J］.American Journal of Applied Sciences,2010,7(1):95101.

　　［4］ 王君.帶時間窗車輛路徑問題的差分進化混合算法［J］. 計算機工程與應用, 2013，49（2）:2428.

　　［5］ HOLLAND J H. Adaptation in natural and artificial systems: an introductory analysis with applications to biology, control, and artificialintelligence［M］.Cambridge: University of Michigan Press,1975.

　　［6］ SHAW P. Using constraint programming and local search methods to solve vehicle routing problem［M］. Springer Berlin Heidelberg, 1998, 1520:417431.