0 引言

    在計算機控制系統(tǒng)中，往往需要對模擬量信號進行采集，但計算機只能識別數(shù)字量信號，因此需要將實際的物理量轉換為計算機所能識別的數(shù)字量。AD轉換芯片作為模擬量采集的核心部件，AD轉換的精度直接影響到控制系統(tǒng)的精度。AD轉換受傳感器自身特性的非線性、參考電壓波動、溫漂、零漂等問題的影響，導致實際物理量與轉換后的數(shù)字量之間存在非線性關系，使轉換精度無法滿足控制系統(tǒng)的要求^[1]，因此需要對AD轉換結果進行校正。

    對于AD轉換中存在的非線性問題，通常可從硬件和軟件兩方面進行處理。硬件處理在盡可能減少非線性的基礎上^[2]，通常配合軟件處理一起。軟件處理的方法較多，其擬合精度高，快速性好，通常有線性近似法、分段直線回歸法、傳統(tǒng)的回歸法（如最小二乘法）等，目的都是采用軟件的方法盡可能降低由于非線性帶來的誤差。

    本文提出了一種基于最小二乘法的最優(yōu)化分段線性擬合方法，對AD轉換結果進行軟件在線校正，最后將校正后的分段點、斜率和截距等數(shù)據(jù)下發(fā)到被校正裝置(如以STM32為MCU的模擬量采集系統(tǒng))中。經(jīng)實際測試驗證，其擬合速度快、準確性高且操作方便。

1 最小二乘法

    軟件實現(xiàn)線性化是基于最小二乘法原理的^[3-4]。以滿足用戶要求的誤差標準為前提，將整個量程范圍劃分為不同的區(qū)間，在每個分段區(qū)間內對實際物理量和轉換后數(shù)字量采用最小二乘法進行直線擬合，確定各直線的待定系數(shù)a_i(斜率)和b_i(截距)。確定a_i和b_i后，得到y(tǒng)_i=a_ix+b_i這樣一條直線，使得用這條直線去近似這段曲線時，整個區(qū)間內的誤差都較小，最后可得到整個量程范圍內確定的函數(shù)關系。

    得到a_i、b_i值，則可確定各區(qū)間內直線的函數(shù)關系。

2 軟件線性化基本思路

    經(jīng)理論分析和實驗表明，實際物理量和AD轉換后數(shù)字量間的非線性關系主要分布在低端和高端，中間基本上是線性關系。因此，簡單地對整個量程區(qū)間的非線性關系進行線性擬合時，兩端與實際曲線的擬合度很低^[5]，得到的擬合函數(shù)無法準確地表達整個量程范圍內實際物理量和數(shù)字量間的關系。

    如果不進行分段線性校正，擬合函數(shù)f(x)的階數(shù)必須高于7^[6]，才能滿足控制系統(tǒng)精度的要求。而由于高階擬合函數(shù)計算復雜，需要用到迭代法，計算時間長，占用內存多，難以在實際中應用。因此就需要分段，將整個量程范圍根據(jù)誤差標準經(jīng)過計算進行劃分區(qū)間，分別對每個劃分區(qū)間進行擬合，各區(qū)間有不同的擬合函數(shù)，此時可認為每個劃分區(qū)間中的實際物理量和數(shù)字量間存在線性關系，而在整個量程范圍內實際物理量和數(shù)字量之間是非線性關系。

    理論證明，只要分段的間距足夠小，分段的數(shù)量足夠多，對于任意的連續(xù)函數(shù)，在誤差允許的范圍內，都可以用分段線性化來處理。但是在實際應用中，應根據(jù)誤差標準來劃分區(qū)間，劃分的區(qū)間數(shù)量不宜太多。當允許誤差較大時，分段數(shù)較少；當允許誤差較小時，分段數(shù)較多。此動態(tài)分段方法既可簡化得到擬合函數(shù)的過程，又能提高轉換精度，滿足控制要求。基于最小二乘法的最優(yōu)化分段線性擬合方法的基本思路為：

    (1)假設有一組樣本數(shù)據(jù)(x_i，y_i)(i=0，1，2，…，n-1)(數(shù)字量x_i從小到大排列)，用戶根據(jù)實際測試需求，輸入允許誤差ε及量程范圍[M，N](M、N均為數(shù)字量)。

    (2)計算機取出數(shù)據(jù)(x_i，y_i)的前3個點，擬合區(qū)間為[M，x₂]。用最小二乘法求出各點在擬合區(qū)間[M，x₂]內的擬合系數(shù)a₀和b₀并依次計算各點的誤差值ε_i，其中ε_i=

|y_i-(a₀x_i+b₀)|。

    (3)將各點誤差值ε_i與允許誤差ε進行比較。若這3個數(shù)據(jù)點均滿足允許誤差，計算下一個點x₃的誤差值ε₃。將ε3值與允許誤差ε進行比較，若仍小于允許誤差，則擬合區(qū)間再增加一個數(shù)據(jù)x₃，擬合區(qū)間為[M，x₃]。依次類推，直到在區(qū)間[M，x_k]中出現(xiàn)某點x_k，其誤差值ε_k大于允許誤差ε，計算機會自動將區(qū)間[M，x_k]減少一個數(shù)據(jù)x_k。此時可得到分段區(qū)間[M，x_k-1]內滿足精度要求的擬合函數(shù)表達式y(tǒng)₀=a₀x+b₀，且這條直線延伸到量程范圍的起始點M。

    若這3個數(shù)據(jù)點中有任何一個點不滿足允許誤差，則將3個數(shù)據(jù)點中的前兩個點根據(jù)“兩點確定一條直線”定律，連接成一條直線且這條直線延伸到量程范圍的起始點M，分段區(qū)間為[M，x₁]。且設定這3個數(shù)據(jù)點中不滿足誤差要求的點為第3個，為方便敘述，假設這個點為x_k。

    (4)下一段從x_k-1點開始，計算機取3個數(shù)字量x_k-1、x_k、x_k+1，此時擬合區(qū)間為[x_k-1，x_k+1]，用最小二乘法求出各點在擬合區(qū)間[x_k-1，x_k+1]內的擬合系數(shù)a_j和b_j(j=1，2，…，n-2)，并依次計算各點的誤差值ε_k。沿用步驟(3)中的方法，找出新區(qū)域內的擬合表達式。直至計算判斷達到量程范圍上限N點，擬合過程結束。至此得到了符合允許誤差的各段擬合函數(shù)，覆蓋了整個量程范圍。

    根據(jù)上述方法，在實際校正中會出現(xiàn)很多種可能，圖1和圖2為兩種典型情況下的處理方式。情況1為有3個點滿足誤差標準的處理方式，情況2為有3個點不滿足誤差標準的處理方式。

3 軟件線性化的實現(xiàn)

    AD轉換在線校正軟件使用VS2010 C#開發(fā)，并將校正后的允許誤差、量程范圍、分段數(shù)、分段區(qū)間、斜率a和截距b等參數(shù)保存到Access數(shù)據(jù)庫中，用戶可根據(jù)允許誤差和量程范圍隨時查詢。

    軟件可校正的物理量有直流電壓、直流電流、交流電壓、交流電流和交流頻率，每次只能校正一個物理量。AD轉換在線校正軟件主要包括串口設置界面、非線性校正界面(主界面)和實時曲線界面。串口設置界面主要用來設置校正軟件與被校正裝置間的通信參數(shù)；非線性校正界面包括數(shù)據(jù)請求、數(shù)據(jù)顯示、擬合折線和歷史數(shù)據(jù)查詢四部分，實現(xiàn)數(shù)字量的接收、物理量的輸入、根據(jù)允許誤差和量程范圍進行分段線性校正并將參數(shù)下發(fā)給被校正裝置，以及保存和查詢等功能；被校正裝置根據(jù)校正軟件下發(fā)的參數(shù)進行物理量的回歸運算^[7]，校正軟件通過發(fā)送指令讀取運算得到的物理量值，并將物理量值通過實時曲線界面顯示。非線性校正界面如圖3所示。

4 軟件線性化測試結果

    在軟件線性化測試中，被校正裝置為以STM32為MCU的模擬量采集系統(tǒng)，其內部AD轉換器的位數(shù)為12 bit，物理量為直流電壓，其量程范圍為1～10 V。AD轉換后數(shù)字量與實際測量的物理量如表1所示。

    通過本文提出的校正方法對表1中的數(shù)據(jù)進行最優(yōu)化分段線性校正，當允許誤差分別為0.2和0.5時，其擬合分段直線如圖4和圖5所示。由圖4和圖5校正結果對比可知，計算機可以根據(jù)允許誤差的大小來動態(tài)調整分段區(qū)間，得到最優(yōu)化分段，使得分段數(shù)最優(yōu)；校正過程方便，用戶只需手動輸入實際物理量、允許誤差和量程范圍；并且校正的準確度高，要求的允許誤差越小，校正后的折線越逼近實際曲線。

    在上述測試條件下，允許誤差為0.2和0.5時，其擬合結果的分段數(shù)、分段區(qū)間、各段系數(shù)及最大誤差如表2所示。由兩組數(shù)據(jù)對比結果可知，擬合結果的分段區(qū)間不是固定的，而是會根據(jù)允許誤差的不同實現(xiàn)動態(tài)分配，從而實現(xiàn)了分段數(shù)的最優(yōu)化。同時，對于不同的允許誤差，當允許誤差較小時，分段區(qū)間越多，擬合精度越高，因此在實際的運用中，可根據(jù)需要設置允許誤差，獲得校正數(shù)據(jù)，從而實現(xiàn)提高物理量回歸運算精度的目的。

5 結論

    本文提出了一種基于最小二乘法的最優(yōu)化分段線性擬合方法，經(jīng)過實際測試驗證，擬合精度高，分段合理，算法簡單且快速性好，達到了方便、準確實現(xiàn)非線性校正的目的。在實際操作時，用戶需要將實際測量的物理量、量程范圍及允許誤差輸入到軟件中，計算機可根據(jù)軟件程序自動計算出分段區(qū)間和擬合系數(shù)，用戶再將擬合參數(shù)下發(fā)給被校正裝置即可。此方法也可用于嵌入式系統(tǒng)的輔助開發(fā)中，進行模擬量的非線性校正，提高非線性校正的靈活性和準確性。

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作者信息：

賈紅敏，張立廣，淡建超

(西安工業(yè)大學 電子信息工程學院，陜西 西安710021)